¿Puedo mudarme, sin haberme dado de alta en el paro o dándome de alta después de haberme mudado, y aplicarme movilidad geográfica?

No podrás aplicar movilidad geográfica en ninguno de los dos casos.

Para poder incluir la movilidad geográfica tienes que haber estado dado de alta como demandante de empleo antes de trasladarte a otro municipio por motivos laborales.