¿Puedo mudarme, sin haberme dado de alta en el paro o dándome de alta después de haberme mudado, y aplicarme movilidad geográfica?

No podrás aplicar movilidad geográfica en ninguno de los dos casos.
​
Para poder incluir la movilidad geográfica tienes que haber estado dado de alta como demandante de empleo antes de trasladarte a otro municipio por motivos laborales.
​